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Taiwan Panorama 台灣光華 / 內文:思考≠計算 ──建構式數學改革戰
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2001年5月第032頁
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思考≠計算 ──建構式數學改革戰
文•滕淑芬 圖•薛繼光
 
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強調師生互動、表達自我、回歸基礎的「建構式數學」,在小學全面實施五年後,最近成了砲火中心,起因是許多人發現孩子的計算能力退步了。建構式教學究竟怎麼教?學生真的越學越笨?

打開今天小學生的數學課本或習作,為人父母這一代大概都有「怎麼變成這樣」的感覺。數學學習模式經由佈題、解題,逐步理解的過程,都與過去經驗大不相同,讓我們先來看看新舊課本的對比:

不少家長質疑新教材的解題策略太繁複,「以前老師按部就班教的方法有什麼不好,快又有效。」「過去只需要學一種方法,現在教了那麼多方法,把孩子弄糊塗了,反而更糟!」

建構什麼?

現今小學六年級是新舊教科書的分水嶺。六年級以上學生念的數學課本是國立編譯館在六十四年公佈的版本,這套沿用近二十年的版本,在七十九年開始大幅修訂,八十二年由教育部公佈,八十五年全面實施。其間小學教科書在社會的要求下大鬆綁,民間編纂的版本也進入校園,教科書市場百花齊放,呈現出不同思考理念的教學觀。

分析起來,新舊教科書都以學生為主體,但舊版本的編排,大多有一套標準化的解題模式。例如高年級的分數乘法概念,課本直接歸納出規則,「分數乘式之中,如果有帶分數,可先把帶分數化為假分數,然後分子乘分子,分母乘分母」。

新教材的編法除了圖案色彩鮮豔活潑、附帶多種讓學生操作的教具外,題型沒有標準作法,可以一題多解。

數學新舊教科書改革階段出現一個名詞叫「建構主義」。大致說來,它指的是人的學習不能完全被動接受外來訊息,必須經過內化歷程,重新用自我認知的功能加以建構,才能轉化成真正擁有的知識。

瑞士認知發展心理學家皮亞傑認為,學習是認知結構和外在環境協調的過程,兩者有所衝突就要調整腦部想法,「調整得好,認知就和諧,調整的過程就是建構的過程,」台大數學系兼任副教授黃敏晃說。

「舊課程認為兒童像海綿,只要純粹吸收,老師的責任就是把課教完,老師教完,學生就會,但我們都知道這與事實不合,」負責小學教科書改革和師資培訓的教育部國民學校教師研習會研究室主任周筱亭解釋,新教材希望以學習者為中心,由老師佈題,引導出學生不同想法。

同時參與新舊版本教科書編纂的黃敏晃說,當年編輯舊版本時曾提出「二十年後什麼樣的知識會更有用?更有意義?」的想法。後來編新教材時便特別注意思考過程的訓練,他認為,在人手一台計算機的時代,「計算本身不重要,重要的是為什麼要這樣計算?數學教育的目的不在計算的熟練,而是思考訓練。」

把教室還給學生

新舊版本除了理念迥異,落實到課堂上,也希望呈現不同的教室情境。傳統的數學教室,老師是主角,在台上賣力解釋,為了讓學生專心傾聽老師的講述,教室要盡量保持安靜。但新教材卻希望把教室還給學生。

八十二年新版本編輯出來前,曾選擇部分小學或班級進行教學實驗,當時國立台北師範學院附設實驗小學在校長鍾靜的主導下,一年級新生全部採用新課程。「新課程強調配合孩子的認知發展,從互動中建立數學知識,」現任師範學院數學教育學系教授鍾靜說。

在師院附小房昔梅老師的五年級課堂上,房老師將應用題公布在黑板上:「巧克力二百四十七顆,平分給八人,儘量分完,一人可以分得幾顆?剩下幾顆?」

班上四、五人為一小組,開始討論,再將過程寫在白板上,大家可以比較不同的解題策略。各組都很快得出答案,但老師還是希望同學說說為什麼這麼作?有同學上台解釋:「因為是平分給八個人,所以我除以八,分完後,每人有三十顆,剩下七顆。」

「你們對他的說法滿意嗎?有沒有其他意見?」在台下的房老師問。顯然同學都沒有被老師難倒。

「我不太用課本,」有十七年教學經驗的房老師說,以前的老師是照本宣科,現在則是鼓勵學生說出思考過程。舊課本很容易教,加減乘除四則運算、小數、分數都分別設計成一個單元,但學生往往學了新的、丟了舊的,五上教完分數乘法,放寒假回來就忘了,「新課程編排呈小螺旋狀,新單元也會複習以前的原則,但程度加深。」

「在課堂上告訴學生圓周率是三•一四,說多少次學生還是很難理解,」東園國小王佩貞老師說,她讓學生自己測量牛奶瓶、飛盤、呼拉圈、操場等不同大小的圓形,自己去發現圓周和直徑的關係。教到長度、面積、體積、容積也是由操作中培養學生具體的「量感」。

孩子教笨了?

建構式教學顛覆「老師講、學生聽」的傳統,對老師是一大挑戰。

「三年前剛帶新教材的實驗班,衝擊很大,每天都在哭,真的不會教,」王佩貞回憶說,建構式學生的質疑能力很強,一個道理沒講清楚,都不會放過她;真正掌握內涵還是帶過一屆高年級學生後。

值得討論的是,新教材已經實施了五年,為什麼家長、老師卻在此時此刻反彈?

曾輔導資優生、學習障礙學生的台大數學系副教授朱建正認為,這個時候問題會浮出檯面,原因在於高年級老師的數學能力通常較強,他們發現學生的計算熟練度大不如前,不能接受,才會反彈。

在美國大學任教二十多年的數學系教授滕楚蓮,偶然回國,發現台灣的小學新教材,不必讓學生記九九乘法表,簡單的計算也得寫一大堆繁長的式子,例如計算378× 265三位數乘法的算式,小朋友要先算5 × 8,5 ×70,5 × 300;60 × 8,60 × 70,60 × 300;200 × 8,200 × 70,200× 300,再將這九個數字相加。朋友的四年級女兒覺得自己越學越笨,「到了小學四年級,這些計算仍不能得心應手,難怪會覺得數學無趣,自己笨,」他說。

「反對學生背誦九九乘法表,是倡導建構式教學者『過頭』的主張,」台大數學系副教授、人本教育基金會執行董事史英指出,「邊做乘法計算邊查九九乘法表,對個位數乘法也許沒問題,但是對練習兩位數、三位數乘法是非常不利的。老師應該根據學生的能力,運用『先理解後記憶』、『先記憶後理解』或『理解—記憶—理解』等方法,指導學生把九九乘法表背起來。」

打開心門

另一個大問題,是老師對新教材的精神還掌握不住,執行面出現誤差。

「新教材編排的方式對老師教學往往有暗示作用,」史英指出,習於舊教學模式的老師往往不能因材施教,建構式教學希望透過討論、理解,從過程理清想法,如何讓學生了解就是手法運用的問題。

他舉例說,把二十一拆解成二個十加一的想法原本沒有錯,但如果有學生早就學會直式加減,老師仍然一成不變地要他們繼續拆解數字,等於還是用「舊模式來教新教材」。教科書委員和老師希望訓練學生思考,自己更該想到,對已經熟練直式演算的學生來說,不是限制,而是幫助他們理解直式演算的隱含意涵。

中正大學數學系教授林長壽則完全反對建構式教學。他說,知識灌輸要與文化、生活經驗結合才能事半功倍,把二十一拆成二個十加一的概念,並不符合兒童的認知結構,因為日常生活中他們已經學會把二十一或其他數字當成一個符號看待。改革者不能空畫天方夜譚的美景,落到執行面卻造成想改革的壞傳統沒有消失,新方法又被扭曲,越來越糟的後果。

「新版本的師資培訓作得比舊版本還差,」教師研習會研究室主任周筱亭坦承,執行面的缺失在於,接受新課程研習的大多為低年級老師。此外,各版本都附有厚達數百頁的教學指引,其中列出老師佈題後,學生可能的幾種反應,提供老師參考,但老師又誤以為這都是該教的解題策略,反而增加孩子負擔。

「很多老師不了解新課程精神,但我們不能責怪老師,在職訓練的時間太少,」擁有二十多年教學經驗的台北縣雲海國小校長李美穗說。

「原來想做的師資培訓沒有做,」台大數學系副教授黃敏晃說,編新教材時,並不知道小學教科書市場會開放,曾經提出讓八萬名小學老師進行一禮拜培訓,但後來立法院反對,認為是在訓練國立編譯館版本的老師,結果就讓各版本業者自己去做教師培訓,很難掌握實況。

拉拔中下學生

建構式教學在各小學執行狀況落差很大,不過抨擊重點幾乎都集中在學生的計算能力變慢或變差了。

才從台北縣轉來東園國小的韓鎮陞,第一天上王佩貞老師的課,看到同學解答「二又八分之三公尺長的鐵絲,把八分之五公尺剪成一段,可以剪成幾段?」的問題時,有同學先把二又八分之三化成假分數,再逐次減去八分之五,他直覺反應「不知道為什麼要用這麼複雜的方法?直接相除就好了。」

分數相除是六年級數學的重頭戲,舊課本直接說明運算方式,新教材則採取線段圖示法、或回歸題目情境說明分數之間的關係,從中推論顛倒相除的原理。事實上,教育改革最大阻力正來自舊習慣,心急的家長也是其中之一。許多家長直覺認定建構方式太愚蠢,又教給孩子較有效率的運算方法,結果老師一套、家長一套,孩子自然更糊塗了。

「講解、反覆演練的方法適合程度好的學生,但對程度不好的學生來說,只是做一大堆,錯一大堆,訂正一大堆,」王佩貞老師說,「第一、二年教的時候,信心也曾動搖,覺得學生的計算能力不強,好像落後人家;現在聽到批評,會靜下來思索,什麼才是有意義的學習。」

參與新課程的學者一再強調,新課程沒有要學生不熟練,只是希望能先求效果,再求效率,但計算的熟練絕不能靠參考書或測驗卷。

「數學成就要靠自律,」台大數學系副教授朱建正說,常常練習,每天三、五題就好,而且最好分佈練習,幾何、代數的問題混在一起出。

沒有王者之路

希臘學者歐基理得曾說,「幾何沒有王者之路」。「數學知識的階梯很多層,是邏輯的訓練,攀爬要靠基礎穩固,」朱建正說。

建構式數學究竟是迷宮還是攀登高峰的路徑?對於初入數學世界的小學生,也許只希望可以稍稍體會到自由探索數學殿堂的樂趣。

p.32

注重思考訓練的建構式數學希望提昇孩子的數學興趣。

(魏錦華繪圖)

p.33

舊課本題型(標準策略)

低年級:兩堆火柴盒,一堆有23個,另一堆有15個,共有多少個?

橫式寫作

23+15

直式寫作

23

+15

38

中年級:一支原子筆13元,39元可以買幾支?

3

13 )39

39

0

高年級:一條鍛帶長 67 公尺,每 27 公尺做成一朵花,可作成多少朵?

67÷27

=6÷2

=3

新課本題型(學生可能出現的解題策略)

低年級:小華家養了黑羊47隻,白羊26隻,共有多少隻?

40+20=60

7+6 =13

60+13 =73

40

+20

60

+13

73

中年級:138顆糖果,46 顆裝成一包,可以裝成多少包?

138-46=92 46×2=92

92-46=46 46×3=138

46-46=0 138-138=0

46+46=92

92+46=138

138-138=0

高年級:小雙上午拿了二張榮譽卡去換了一些鉛筆,下午拿六張榮譽卡去換了十五枝鉛筆。小雙上午換了幾枝鉛筆?

2×3=6 6÷2=3

5×3=15 15÷3=5

說說看,你是怎麼知道的?

p.34

除了佈題、解題,學生還要說得出想法,老師才知道同學是否確實了解。

p.35

新舊教材呈現不同的教學理念,最大差異在新教材沒有標準答案。

p.36

堆積木,比比看那邊重?幼兒遊戲也可以訓練「量感」。(教具由信誼基金會提供)

p.37

數學可以讓生活更豐富,想知道路樹有多高,可以運用簡單的幾何原理目測丈量。圖為在台大校園舉辦的數學營。(中華少年成長基金會提供)

p.38

數學知識的累積靠穩固的基礎,進了國中才不會被複雜的原理嚇倒。(張良綱攝)

   
 
 
 
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